Bon puisque tout le monde est d'accord
les equations du 3ème degré ^^, je vous previens c'est un peu long.
On va prendre l'exemple suivant :
Posons :
Les deux équations précédentes se mettent sous la forme :
Nous devons éliminer
x entre ces deux équations. Pour cela,
nous remplaçons la première équation par le produit membre à membre de
ces deux équations. après simplification, nous obtenons :
Cette façon de procéder permet de diminuer le degré de l'une des équations par rapport à
x. Nous allons donc réitérer le processus jusqu'à ce que
xait disparu de l'une des équations. D'autre part, comme nous faisons
des produits membre à membre, nous risquons d'introduire des solutions
parasites. Il nous sera donc nécessaire à la fin de la résolution de
vérifier que toutes les solutions trouvées vérifient bien l'équation à
résoudre.
Après un nouveau produit membre à membre, nous obtenons :
Après un nouveau produit membre à membre en remplaçant cette fois la deuxième équation, nous obtenons :
Un dernier produit membre à membre nous donne après réduction des termes semblables et simplification par a
2x :
Nous devons maintenant déterminer a, b, c de façon à ce que :
En tirant c de la première équation et en reportant dans la deuxième équation, nous obtenons :
Nous voyons alors que le rapport a/b est racine de l'équation :
L'une des racines de cette équation étant :
On peut en déduire pour a, b, c le choix des valeurs suivantes :
En reportant ces valeurs d'une part dans (*), on obtient :
Et d'autre part dans (**), on obtient :
D’où l'on déduit les trois valeurs possibles de y :
Il nous suffit de reporter ces trois valeurs de y dans (***) pour
obtenir successivement les trois équations du second degré suivantes :
Qui se simplifient sous la forme :
Il ne nous reste plus qu'a résoudre ces trois équations pour en
déduire les valeurs possibles de x. Les trois discriminants de ces
équations du second degré sont respectivement :
On en déduit respectivement les six valeurs possibles pour x :
Comme nous avons fait des produits membre à membre au début, nous
risquons d'avoir introduit des racines parasites. Nous devons donc
vérifier que les valeurs obtenues pour x vérifient bien l'équation à
résoudre. Nous constatons que seulement trois des six valeurs obtenues
sont bien solution de l'équation. Ces valeurs sont :
Et voila, c'etait pas si compliqué
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